- 动画描绘了配方法的过程。(动画版 GIF)
配方法(英語:Completing the square等。
將下方左边的多项式化成右边的形式,就是配方法的目标:
,其中
和
是常數。
在基本代数中,配方法是一种用来把二次函数化为一个多项式的平方与一个常数的和的方法。这种方法是把以下的多项式
![{\displaystyle ax^{2}+bx\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaeaa1e5b0f70a2438ad71935bcebc29727884d4)
化为
![{\displaystyle (cx+d)^{2}+e\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d181686283418f64572c0a554b0ad8e42491921f)
以上
表达式中的
系数![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
、
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
、
![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
、
![{\displaystyle d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab)
和
![{\displaystyle e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)
本身也可以是表达式,可以含有除
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
以外的
变量。
配方法通常用来推导出二次方程的求根公式:
![{\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&{}=0\\ax^{2}+bx&{}=-c\\x^{2}+\left({\frac {b}{a}}\right)x&{}=-{\frac {c}{a}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5033f4b6c367747fb9ff30a77c9856644a26f0f)
我们的目的是要把方程的左边化为完全平方。由于问题中的完全平方具有
的形式,可導出
,因此
。等式两边加上
,可得:
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}&{}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&{}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&{}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\\x&{}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dfc057425731c2e0a6f472f38ce5811e1292b5e)
这个表达式称为二次方程的求根公式。
几何学的观点[编辑]
幾何學的操作過程
考虑把以下的方程配方:
![{\displaystyle x^{2}+bx=a.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92e3bb4c37473196c5b2eed26afef45008b5281e)
由于
![{\displaystyle x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0bf28fd28f45d07e1ceb909ce333c18c558c93)
表示
边长为
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
的
正方形面积,
![{\displaystyle bx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85cb682ff461f1969d385f29bad9c8ddf29066b6)
表示边长为
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
和
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
的
矩形面积,因此配方法可以视为矩形的操作。
如果尝试把矩形
和兩個
合并成一个更大的正方形,这个正方形还会缺一个角。把以上方程的两端加上
,正好是欠缺的角的面积,这就是“配方法”的名称的由来。
一般公式[编辑]
为了得到
我们设
![{\displaystyle {\begin{aligned}c&{}={\sqrt {a}},\\d&{}={\frac {b}{2{\sqrt {a}}}},\\e&{}=-d^{2}\\&{}=-\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}\\&{}=-{\frac {b^{2}}{4a}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d932b91e1c98a7df88a353444110dd866081ee04)
得出
注意
。为了把
化为
的形式,我们必须进行以下的代换:
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&{}=c^{2},\\b&{}=2cd,\\f&{}=d^{2}+e.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f424863a2993c9c1e79abd4a27db43cf8f6ee06)
现在,
、
和
依赖于
、
和
,因此我们可以把
、
和
用
、
和
来表示:
![{\displaystyle {\begin{aligned}c&{}=\pm {\sqrt {a}},\\d&{}={\frac {b}{2c}}\\&{}=\pm {\frac {b}{2{\sqrt {a}}}},\\e&{}=f-d^{2}\\&{}=f-{\frac {b^{2}}{4a}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c393e99e35a1a3ea40e83aaca48cb9e554de2ace)
当且仅当
等于零且
是正数时,这些方程与以上是等价的。如果
是负数,那么
和
的表达式中的±号都表示负号──然而,如果
和
都是负数的话,那么
的值将不受影响,因此
号是不需要的。
具体例子[编辑]
![{\displaystyle {\begin{aligned}5x^{2}+7x-6&{}=5\left(x^{2}+{7 \over 5}x\right)-6\\&{}=5\left[x^{2}+{7 \over 5}x+\left({7 \over 10}\right)^{2}\right]-6-5\left({7 \over 10}\right)^{2}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-6-{7^{2} \over 2\cdot 10}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-{6\cdot 20+7^{2} \over 20}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-{169 \over 20}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4321165028930bc9b10bc8ff9bd4efd752253868)
从中我們可以求出多項式为零时
的值,也就是多项式的根。
![{\displaystyle {\begin{aligned}5x^{2}+7x-6&{}=0\\5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-{169 \over 20}&{}=0\\\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}&{}={169 \over 100}\\&{}=\left({13 \over 10}\right)^{2}\\x+{7 \over 10}&{}=\pm {13 \over 10}\\x&{}={-7\pm 13 \over 10}\\&{}={3 \over 5}{\mbox{ or }}-2\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c3548b42cf9ee6b6bc696bec08d41fd57d788ca)
我们也可以求出
取得什么值时,以下的多项式为最大值或最小值:
![{\displaystyle y=5x^{2}+7x-6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54cf51c7e42dd5753ffa7a4dd0ea7e4b1fae9ace)
最高次数的项
![{\displaystyle x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0bf28fd28f45d07e1ceb909ce333c18c558c93)
的系数为正,因此
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
的绝对值越大,
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
就越大。但是,
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
有一个最小值,在任何地方都不能比它更小。从完全平方的形式中,
![{\displaystyle y=5\left(x+{\frac {7}{10}}\right)^{2}-{\frac {169}{20}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/445a23e78a94571f7a917508229c1ce878db9792)
,我们可以看到,如果
![{\displaystyle x=-{7 \over 10}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b13e3860be958107855c765fa8c0511c6f557a6)
,那么
![{\displaystyle y=-{\frac {169}{20}}=-8.45}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eee20fbe67c8251bc4c6560d2d7f6ebe7bbfa911)
;但如果
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
是任何其它的数,
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
都是
![{\displaystyle -{\frac {169}{20}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64985296699019893368a688324eb882ad3bf3b4)
加上一个非零的平方数。由于非零实数的平方都是正数,因此当
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
不为
![{\displaystyle -{\frac {7}{10}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2007256b5b59ebec3498cc248af7ee917d3cdd4c)
时,
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
一定大于−8.45。所以,
![{\displaystyle (x,y)=\left(-{\frac {7}{10}},-{\frac {169}{20}}\right)=(-0.7,-8.45)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70327fcdcf9b2025194612e8166169a5dcdcccad)
就
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
的最小值。
微积分例子[编辑]
假设我们要求出以下函数的原函数:
![{\displaystyle \int {\frac {1}{9x^{2}-90x+241}}\,dx.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d0ae33eb437c488ec2a48249708f6c3b6055bb)
这可以用把分母配方来完成。分母是:
![{\displaystyle 9x^{2}-90x+241=9(x^{2}-10x)+241}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a5c33b23f17a80c9c0f70aa905b0e6eb907c3f)
把两边
![{\displaystyle x^{2}-10x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a1453c02be211f7f6dcee5b15e0e469491fc83)
加上
![{\displaystyle ({\frac {10}{2}})^{2}=25}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a61bbeb2475dc1d9b4819c9ddafac8712957e3c)
,就可以得到一个完全平方,
![{\displaystyle x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7588678a2f3a11b9c6ce78e2d34e71d677012ef)
。分母变为:
![{\displaystyle {\begin{aligned}9(x^{2}-10x)+241&{}=9(x^{2}-10x+25)+241-9(25)\\&{}=9(x-5)^{2}+16\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf96283408c66eee8f2ce5662775573d5d1e411e)
因此积分为:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{9x^{2}-90x+241}}\,dx&{}={\frac {1}{9}}\int {\frac {1}{(x-5)^{2}+({\frac {4}{3}})^{2}}}\,dx\\&{}={\frac {1}{9}}\cdot {\frac {3}{4}}\arctan {\frac {3(x-5)}{4}}+C\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82d5165e0eee9a71258e893930540d47aac9ce11)
复数例子[编辑]
考虑以下的表达式:
![{\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/396e4f22a4ceb6f77c4f85a455716662bcce8e8e)
其中
![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
和
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
是
复数,
![{\displaystyle z^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b376dccffe5ae946dcdb7e98bf41beae28dc9e)
和
![{\displaystyle b^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf58ee2d1417912c053c3442d7d2ffc7253185b7)
分别是
![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
和
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
的
共轭复数,
![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
是一个
实数。利用恒等式
![{\displaystyle \left\vert u\right\vert ^{2}=uu^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d429742527ea7b8b54edea4d3fd3ad64c47f0b)
,我们可以把它写成:
![{\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25f7e29ebebc2967031992a0d74d1d16e34a1da9)
这显然是一个实数。这是因为:
![{\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/798d361bf0b42be42d0f90cc799fdbb8f794a866)
作为另外一个例子,以下的表达式
![{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52dfc30c9851e2b17ac3e06ada138dae89d1dbe0)
其中
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
、
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
、
![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
、
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
和
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
是实数,
![{\displaystyle a>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9)
且
![{\displaystyle b>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94436473a90bd55191a79c59474cb5456dcbec00)
,可以用一个复数的
绝对值的平方来表示。定义
![{\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/638057d6f1cb7a9c3c712c2f0f15becf476ffdb2)
那么
![{\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\&{}=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d659b7735df997748a9091fba166c45a5110721c)
因此
![{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eebf8bd55e1090d95c92bf619b04594b9b88190)
方法的变化[编辑]
通常配方法是把第三项
加在
,得出一个平方。我们也可以把中间的项(
或
)加在多项式
就得出一个平方。
例子:正数与它的倒数的和[编辑]
从以下的恒等式中,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa6dbd4fab7bca1078b7071b4efa6033165447c)
我们可以看出,正数
与它的倒数的和总是大于或等于 2。
例子:分解四次多项式[编辑]
假设我们要把以下的四次多项式分解:
![{\displaystyle x^{4}+324}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d055109ce02e0e2253d8783d0d27e5185d3b904)
也就是:
![{\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b510bdb5001289dff679a1eac16b2050a0a9f0)
因此中间的项是
![{\displaystyle 2(x^{2})(18)=36x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a8bab5160873d5ef437ff5f3c0e631fd140041d)
。所以,我们有:
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a7ef171e12bdcf2e8773b92e01fe8cb041dbd9)
最后一个步骤是把所有的项按降幂方式排列。
参考文献[编辑]
外部链接[编辑]